Checking-the-divisibility-of-numbers-by-prime-factorization-method || अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा संख्याओं के विभाज्यता की जांच

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अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा संख्याओं के विभाज्यता की जांच

कोई भी छोटी या बड़ी संख्या 1 और अपने के अलावा किन-किन संख्याओं से विभाजित होती है यह पता करना है कठिन है। संख्याओं को ज्ञात करने की कठिनता उस समय और बढ़  जाती है जब दी गई संख्या बड़ी से बड़ी हो। और प्रश्न को हल करने के लिए हमारे पास समय कम से कम हो। आज हम अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा हम यह  पता करेंगे कि दी गई संख्या कौन-कौन सी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित है। और ऐसी कितनी संख्याएं हैं जो दी गई संख्याओं को विभाजित करती हैं। 

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अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा संख्याओं के विभाज्यता की जांच

इस विधी में हम सर्वप्रथम संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड निकालते हैं फिर उसके बाद यह पता करते हैं कि कौन-कौन सी संख्या दी गई संख्याओं को विभाजित करेगी। 

उदाहरण:

Q:1 ➤ कौन-कौन संख्या 60 को विभाजित करती  है?

सर्वप्रथम हम 60 को अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा खण्डित करेंगे 

      {"code":"\begin{gather*}n{\ldiv{2}{60}}\\n{\ldiv{2}{30}}\\n{\ldiv{3}{15}}\\n{5}tn\end{gather*}","id":"5","aid":null,"font":{"family":"Arial","size":11,"color":"#000000"},"backgroundColor":"#ffffff","type":"gather*","backgroundColorNonDefault":false,"ts":1606302760997,"cs":"5EVTpZ5AQxQs20LeVuX3sA==","size":{"width":32,"height":102}}                


∴  60 = 2x2x3x5x1
उपर्युक्त गुणनखंड पर गौर कर संख्याओं को आपस में गुणा करने से यह अस्पष्ट होता है कि 60 को विभाजित करने वाली संख्याएं निम्नलिखित है-
⇒ 1 अंकों द्वारा : 1, 2, 3, 5 ——————— 
⇒ 2 अंकों द्वारा : 2x2, 2x3, 2x5, 3x5 
                         = 4, 6, 10, 15 —————- ④
⇒ 3 अंकों द्वारा : 2x2x3, 2x2x5, 2x3x5 
                         = 12, 20, 30 —————– ③ 
⇒ 4  अंकों द्वारा : 2x2x3x5 
                         = 60 ————————– ①

∴ 60 को विभाजित करने वाली कुल संख्याएँ
   ⇒ 4+4+3+1 
        = 12 
अतः स्पष्ट है कि 60 को विभाजित करने वाली कुल संख्याएँ 12 है और वह संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 , 60  है।

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Q:2 ➤ कौन-कौन संख्या 135 को विभाजित करती  है?

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सर्वप्रथम हम 135 को अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा खण्डित करेंगे 

∴ 135 = 3x3x3x5x1 

उपर्युक्त गुणनखंड पर गौर कर संख्याओं को आपस में गुणा करने से यह अस्पष्ट होता है कि 135 को विभाजित करने वाली संख्याएं निम्नलिखित है-
⇒ 1 अंकों द्वारा : 1, 3, 5 ——————- ③ 
⇒ 2 अंकों द्वारा : 3x3, 3x5 
                        = 9, 15 ——————-   
⇒ 3 अंकों द्वारा : 3x3x33x3x5 
                         = 27 ,45 —————–   
⇒ 4  अंकों द्वारा : 3x3x3x5
                         = 135  ——————- ①

∴ 135 को विभाजित करने वाली कुल संख्याएँ
   ⇒ 3+2+2+1 
        = 8 
अतः स्पष्ट है कि 135 को विभाजित करने वाली कुल संख्याएँ 8 है और वह संख्या 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, और 135 है।
Q:3 ➤ कौन-कौन संख्या 231 को विभाजित करती  है?

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सर्वप्रथम हम 231 को अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा खण्डित करेंगे 

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∴ 231= 3x7x11x1 
उपर्युक्त गुणनखंड पर गौर कर संख्याओं को आपस में गुणा करने से यह अस्पष्ट होता है कि 231को विभाजित करने वाली संख्याएं निम्नलिखित है-
⇒ 1 अंकों द्वारा : 1, 3, 7, 11 ———————–  
⇒ 2 अंकों द्वारा : 3x7, 3x11, 7x11
                        = 21, 33, 77 ———————-   
⇒ 3 अंकों द्वारा : 3x7x11
                         = 231 —————————-   
∴ 231 को विभाजित करने वाली कुल संख्याएँ
   ⇒ 4+3+1 
        = 8 
अतः स्पष्ट है कि 231 को विभाजित करने वाली कुल संख्याएँ 8 है और वह संख्या 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77 और 231 है।
Q:3 ➤ कौन-कौन संख्या 360 को विभाजित करती  है?

सर्वप्रथम हम 360 को अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा खण्डित करेंगे 

{"font":{"size":11,"color":"#000000","family":"Arial"},"code":"\begin{gather*}n{\ldiv{2}{360}}\\n{\ldiv{2}{180}}\\n{\ldiv{2}{90}}\\n{\ldiv{3}{45}}\\n{\ldiv{3}{15}}\\n{\ldiv{5}{5}}\\n{1}tn\end{gather*}","id":"7","backgroundColor":"#ffffff","backgroundColorNonDefault":false,"type":"gather*","aid":null,"ts":1606313817843,"cs":"itB+wMrIFLI6FNhvF+VE4w==","size":{"width":42,"height":196}}


∴ 360 = 2x2x2x3x3x5x1 
उपर्युक्त गुणनखंड पर गौर कर संख्याओं को आपस में गुणा करने से यह अस्पष्ट होता है कि 360 को विभाजित करने वाली संख्याएं निम्नलिखित है-
⇒ 1 अंकों द्वारा : 1, 2, 3, 5 —————————  
⇒ 2 अंकों द्वारा : 2x22x3, 2x5, 3x3, 3x5
                        = 4, 6, 10, 9, 15 ——————– ⑤ 
⇒ 3 अंकों द्वारा : 2x2x2, 2x2x3, 2x2x5, 2x3x3, 2x3x5, 3x3x5
                         = 8, 12, 20, 18, 30, 45 ———– ⑥ 
⇒ 4 अंकों द्वारा : 2x2x2x3, 2x2x2x5, 2x2x3x3, 2x2x3x5, 2x3x3x5
                         = 24, 40, 36, 60, 90 ——–—–  
⇒ 5 अंकों द्वारा : 2x2x2x3x32x2x2x3x52x2x3x3x5
                         = 72, 120, 180 ————–—-    
⇒ 6 अंकों द्वारा : 2x2x2x3x3x5
                         = 360 —————————-    
∴ 360 को विभाजित करने वाली कुल संख्याएँ
   ⇒ 4+5+6+5+3+1
        = 24
अतः स्पष्ट है कि 360 को विभाजित करने वाली कुल संख्याएँ 24 है और वह संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6,  8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 और 360 है।

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